三维数学 - Vector3

• 向量
  1. 什么是向量
  2. 向量的形式
  3. 向量的大小
  4. 向量的方向
• 向量运算
  1. 向量相减
  2. 向量相加
  3. 向量与标量的乘除法
  4. 点乘
  5. 叉乘
• 三角函数
  1. 角的度量单位
  2. 三角函数
  3. 反三角函数
  4. 欧拉角
• 常用属性与方法

向量

什么是向量

• 一个数字列表，表示各维度上的有向位移。
• 一个有大小、方向的物理量
  • 大小即为向量的模长
  • 方向即为空间中向量的指向
• 可以表示物体的位置与方向

向量的形式

二维向量中的形式是(x,y)，三维向量中的形式是(x,y,z)

向量的大小

• 向量各分量的平方和的平方根
• $\sqrt (x^2+y^2+z^2)$
• API: float dis = vector.magnitude
  • 模的平方 vector.sqrMagnitude

向量的方向

• 获取向量方向也称“标准化向量”或者“归一化向量”
• 单位向量：大小为1的向量
• 几何意义：将该向量拉长/缩短，使模长等于1
• API：Vector3 v = vector.normalized;
  • v为vector的单位向量

向量相减

• 等于各分量相减
• 公式：[x1,y1,z1] - [x2,y2,z2] = [x1-x2,y1-y2,z1-z2]
• 几何意义：向量a与b相减，结果理解为b的终点为起点，a的终点为终点，诞生一条新向量，方向由b指向a
• 应用：计算两点间的距离和相对方向，可以用于制作抛射物，如子弹发射

public GameObject g;
private Vector3 v;

void Start()
{
	g = GameObject.Find("Cube");
    v = (g.transform.position - transform.position)
}

向量相加

• 等于各分量相加和
• 公式： [x1,y1,z1] + [x2,y2,z2] = [x1+x2,y1+y2,z1+z2]
• 几何意义：向量a与b相加，平移使b的起点与a的终点重合，结果为以a的起点为起点，以b的终点为终点

向量的点乘

• 公式：各分量乘积和
• [x1,y1,z1]·[x2,y2,z2] = x1x2 + y1y2 + z1z2
• 几何意义: $ab=|a||b|cos(a,b)$
• 两个向量的单位向量相乘后，再乘以二者夹角的余弦值
• API: float dot = Vector3.Dot(va,vb)

public float length_a,length_b;
public GameObject g;
void Start()
{
    length_a = this.transform.position.magnitude;
    length_b = g.transform.position.magnitude;

    Debug.Log(Vector3.Dot(this.transform.position.normalized, g.transform.position.normalized));
    Debug.Log("Angle is:"+Mathf.Acos((Vector3.Dot(this.transform.position, g.transform.position)) / (length_a * length_b))*Mathf.Rad2Deg);
}

向量的叉乘

• 公式： [x1,y1,z1] * [x2,y2,z2] = [y1*z2 -z1*y2,z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2]

• 几何意义：结果为两个向量所组成的面的垂直向量，模长为两向量模长乘积再乘夹角的正弦值

• API：Vector v = Vector3.Cross(a,b)

• 应用

  • 创建垂直于平面的向量

角的度量方式

角度与弧度换算： PI = 180° 1弧度 = 180° / PI 1角度 = PI / 180°

API: 弧度 = 角度 * Mathf.Deg2Rad 角度 = 弧度 * Mathf.Rad2Deg

三角函数

• 已知一边一角，求另一边长
• 对边: a, 角的对立边
• 临边: b, 角的相邻边
• 斜边: c, 角的斜边
• 公式：
  1. 正弦 sin(x) = a / c
  2. 余弦 cos(x) = b / c
  3. 正切 tan(x) = a / b
• API:
  1. Mathf.Sin(float radian)
  2. Mathf.Cos(float radian)
  3. Mathf.Tan(float radian)

欧拉角

• 使用三个角度保存方位
• X与Z沿自身坐标系旋转，Y沿世界坐标系
• 优点：
  • 仅用三个数字表达方位，占空间小
  • 沿坐标轴旋转的单位是角度，符合人类思维
  • 任意三个数字都是合法的，不存在不合法的欧拉角
• 万向节死锁
  • 游戏编译期间，代码操作X轴只能+-90°，当抵达极限值时，会发生万向节死锁
  • 即，Y与Z沿同一轴旋转
• 范围：
  • X: 90~-90
  • Y: 0~360
  • Z: 0~360 切记，Unity中的物体欧拉角通过this.transform.eularAngles获取，类型为Vector 3，虽然与position一样是Vector 3类型，但欧拉角的x,y,z仅代表沿各轴旋转的角度，并没有方向的概念。

但由于欧拉角的X在转到+-90°时会发生万向节死锁，因此引入了一个新的概念 —— 四元数

四元数

Unity中提供了Quaternion工具类用于操作四元数计算，最简单地，我们可以通过Quaternion.Euler(0,30,0)表示为物体沿y轴旋转30°

我们在欧拉角计算中可以通过加法实现角度旋转，但我们并不能直接用欧拉角去加四元数

欧拉角加法
this.transform.eularAngles += new Vector3(1,0,0); 物体沿X轴旋转一度

四元数加法
this.transform.rotation *= Quaternion.Euler(1,0,0);

Quaternion r1 = Quaternion.Euler(0,30,0) * Quaternion.Euler(0,20,0)
Quaternion r2 = Quaternion.Euler(0,50,0)
r1的旋转与r2是一样的

补充

有时，我们只想知道对比俩向量的长度，可以直接用sqrMagnitude而不是magnitude，相比后者，前者不需要开方，可以节省性能。

常用方法

Angle

• 参数: 向量A，向量B
• 作用：求出两个向量相交角的角度

Distance

• 参数: 向量A，向量B
• 作用: 求出两个向量间的长度

Lerp

• 参数: 向量A，向量B，速度
• 作用: 求出A和B向量间的线性插值，可用于做减速运动
• 示例:

if (GUILayout.RepeatButton("按我"))
{
    this.transform.position = Vector3.Lerp(this.transform.position, new Vector3(0, 0, 10),0.1f);
}

A会逐渐接近B，但永远无法到达B，从而实现肉眼上的减速运动。

MoveTowards

• 参数: 向量A，向量B，速度X
• 作用: A每次向B移动X距离，作用与Lerp类似，但会抵达终点
• 示例：

if (GUILayout.RepeatButton("按我"))
{
    this.transform.position = Vector3.MoveTowards(this.transform.position, new Vector3(0, 0, 10), 0.1f);
}

这是匀速啊，但我想实现开头慢中间快末尾慢该怎么办呢？ 我们可以使用AnimationCurve实现这种想法

public AnimationCurve curve;
public float x;
private void OnGUI()
{
    if (GUILayout.RepeatButton("按我"))
    {
        x += Time.deltaTime;
        this.transform.position = Vector3.MoveTowards(this.transform.position, new Vector3(0, 0, 10), curve.Evaluate(x));
    }
}